Von Neumann's Two Quantum Entropies

エントロピーとは、ある系における無秩序さの尺度であり、コーヒーが冷めていく理由や、割れたガラスが自発的に元に戻ることがない理由でもあります。1世紀以上にわたり、物理学者たちは、この身近で混沌とした振る舞いが、個々の原子を支配するクリーンで精密な法則からどのようにして立ち現れるのかを理解しようとしてきました。20世紀初頭に量子世界のルールが発見されたとき、新たな問いが生まれました。「単一の量子粒子に対して、この無秩序さをどのように定義すべきか？」という問いです。その答えは、最初は単純明快であるように思われましたが、深く掘り下げてみると、これまでの約100年間、多くの科学者が用いてきた定義は、全く別のものを測定している可能性があることが分かってきました。

1927年、伝説的な物理学者ジョン・フォン・ノイマンは、量子系のエントロピーを計算する方法を提案しました。現在「フォン・ノイマン・エントロピー」として知られる彼の公式は、量子物理学の礎石となりました。この公式は、量子系の異なる部分がどのように結びつくかという現象、すなわち「量子もつれ（エンタングルメント）」を記述する際には見事に機能します。しかし、現実世界の物体における熱や無秩序さに適用しようとすると、この公式には奇妙な欠陥が生じます。もし量子系が「純粋状態（他のものと混ざり合わず、完全に定義された状態）」にある場合、この有名な公式によれば、そのエントロピーは正確にゼロとなります。これはパラドックスを生みます。現実の世界では、たとえ完璧に準備された原子ガスであっても、最終的には広がり、混ざり合うはずであり、そのプロセスは明らかに無秩序さの増大を意味します。しかし、1927年の公式によれば、純粋な量子系はエントロピーが変化することはありません。どれほど広がったり混ざり合ったりしても、永遠にゼロのままなのです。

数十年後の1929年、フォン・ノイマンはこの問題に気づき、これを修正するための別の公式を提案しました。彼は「ウィグナー・フォン・ノイマン・エントロピー」と呼べる第二のタイプのエントロピーを導入したのです。最初の公式とは異なり、この公式は純粋状態においてゼロのまま留まることはありません。代わりに、系が進化するにつれて増加し、自然界で見られる極めて現実的な粒子の拡散を捉えることができます。熱や無秩序を記述するためのより優れた道具であるにもかかわらず、この第二の公式は、その多くが忘れ去られてしまいました。約1世紀の間、科学界はほぼすべての場面で1927年版を使用し続け、それを量子的な無秩序さの普遍的な尺度として扱ってきましたが、その一方で1929年版はアーカイブの中に放置され、無視され、正当に評価されることはありませんでした。

物理学者ビオ・ウーによる最近の論文は、この歴史的な見落としを正そうとするものです。著者は、我々が仕事に対して間違った道具を使っていると主張しています。この研究は、両方の公式の歴史と数学的特性を検証し、それらが全く異なる目的のために設計されたものであることを示しています。著者の結論によれば、1927年のエントロピーは、熱力学的な熱の尺度ではありません。むしろ、それは量子粒子間の目に見えない繋がりである「量子もつれ」の精密な尺度なのです。それは、システム内の二つの部分間でどれだけの情報が共有されているかを教えてくれますが、システム全体の熱や無秩序については何も教えてくれません。

この論文は、1929年のエントロピーこそが、量子系における真の熱力学的エントロピーであることを証明しています。これを実証するために、著者は単純なシナリオを検証します。容器の一方に閉じ込められた粒子ガスが、その後、空間全体に広がる様子です。これは無秩序さが増大する典型的な不可逆過程です。1927年の公式はこのプロセスを見ても、ガスが純粋な量子状態のままであり、公式がその拡散に対して盲目であるため、変化なしと報告します。対照的に、1929年の公式はエントロピーの増加を正しく検知し、実際のガスの振る舞いを反映します。この公式は、私たちが正確な量子状態を知っていたとしても、マクロな観測者としての私たちは、位置や運動量といった限られた性質しか測定できないという事実を考慮に入れています。1929年の公式はこの限界に基づいて構築されており、私たちが実際に経験する無秩序さを測定しているのです。

論文の中で最も説得力のある議論の一つは、1929年のエントロピーが、真の熱力学量としてあるべき姿、すなわち「示量性（extensive）」を備えていることです。これは、二つの独立した系を組み合わせたとき、全エントロピーがそれぞれの個別のエントロピーの総和になることを意味します。1927年の公式は必ずしもこれを行わないため、大量の原子の集まりとしての熱や無秩序を表すことができない大きな理由となっています。また、著者はなぜ1929年の公式が最初に忘れられたのかについても触れています。この公式は、量子世界を小さく管理可能な塊へと分割する特定の方法を必要とし、その手法は計算や実装が困難であると思われていたためです。しかし、現代の計算技術はこれらの技術的なハードルを解決しており、このエントロピーを効率的に計算することが可能になっています。

論文は、過去に1927年の公式がうまく機能していた理由は、数学的な偶然によるものであると示唆しています。多くの一般的な実験では、小さな系が熱浴のような非常に大きな環境と相互作用します。このような特定の状況下では、二つの公式は数値的に同じ結果を与えることがあります。これにより、科学者たちはこれらが互換性があると信じ込むようになりました。新しい分析によれば、この一致は特定の条件下における偶然の産物であり、二つの公式が同一であることを示すものではありません。条件が変われば（例えば、広がるガスの例のように）、公式の結果は乖離し、1929年版のみが物理的世界についての真実を語るのです。

結局のところ、この研究は、量子的な無秩序さについての考え方を再編することを求めるものです。それは明確な役割分担を提案しています。量子粒子間の神秘的な繋がりを理解したいときは1927年の公式を使い、熱、温度、そして時間の不可逆的な流れを理解したいときは1929年の公式を使う、というものです。忘れ去られていた1929年のエントロピーを復活させることで、この論文は、微視的な量子世界と、私たちが生きる巨視的な熱力学の世界との正しい繋がりを取り戻し、私たちの数学的道具が、それが記述すべき物理的現実と一致することを保証しているのです。