Von Neumann's Two Quantum Entropies

La entropía es la medida del desorden en un sistema, la razón por la cual una taza de café se enfría y por la cual un vaso roto nunca se vuelve a ensamblar espontáneamente. Durante más de un siglo, los físicos han buscado comprender cómo este comportamiento familiar y desordenado emerge de las leyes limpias y precisas que gobiernan a los átomos individuales. Cuando se descubrieron las reglas del mundo cuántico a principios del siglo XX, surgió una nueva pregunta: ¿cómo definimos este desorden para una sola partícula cuántica? La respuesta pareció sencilla al principio, pero un análisis más profundo revela que la definición que la mayoría de los científicos ha utilizado durante casi cien años podría estar midiendo algo completamente distinto.

En 1927, el legendario físico John von Neumann propuso una forma de calcular la entropía de un sistema cuántico. Su fórmula, ahora conocida como la entropía de von Neumann, se convirtió en una piedra angular de la física cuántica. Funciona maravillosamente para describir cómo las diferentes partes de un sistema cuántico se vinculan entre sí, un fenómeno llamado entrelazamiento. Sin embargo, la misma fórmula tiene un extraño defecto cuando se aplica al calor y al desorden de un objeto del mundo real. Si un sistema cuántico se encuentra en un estado "puro" —una condición donde está perfectamente definido y no mezclado con nada más—, esta famosa fórmula dice que su entropía es exactamente cero. Esto crea una paradoja. En el mundo real, incluso un gas de átomos perfectamente preparado se dispersará y se mezclará eventualmente, un proceso que claramente aumenta el desorden. Sin embargo, según la fórmula de 1927, un sistema cuántico puro nunca cambia su entropía; permanece en cero para siempre, independientemente de cuánto se disperse o se mezcle.

Décadas más tarde, en 1929, von Neumann se dio cuenta de este problema y propuso una fórmula diferente para solucionarlo. Introdujo un segundo tipo de entropía, que podemos llamar la entropía de Wigner–von Neumann. A diferencia de la primera fórmula, esta no se mantiene en cero para los estados puros. En cambio, aumenta a medida que el sistema evoluciona, capturando la dispersión real e irreversible de las partículas que vemos en la naturaleza. A pesar de ser la mejor herramienta para describir el calor termodinámico y el desorden, esta segunda fórmula fue mayormente olvidada. Durante casi un siglo, la comunidad científica continuó utilizando la versión de 1927 para casi todo, tratándola como la medida universal del desorden cuántico, mientras que la versión de 1929 permanecía en los archivos, ignorada y poco valorada.

Un artículo reciente del físico Biao Wu busca corregir este descuido histórico. El autor argumenta que hemos estado usando la herramienta equivocada para el trabajo. El estudio revisa la historia y las propiedades matemáticas de ambas fórmulas para demostrar que fueron diseñadas para dos propósitos completamente diferentes. La entropía de 1 la autora concluye, no es una medida del calor termodinámico en absoluto. En su lugar, es una medida precisa del entrelazamiento, el vínculo invisible entre las partículas cuánticas. Nos dice cuánto se comparte la información entre dos partes de un sistema, pero no nos dice nada sobre el calor o el desorden del sistema en su totalidad.

El artículo demuestra que la entropía de 1929 es la verdadera entropía termodinámica para los sistemas cuánticos. Para probarlo, el autor examina un escenario simple: un gas de partículas confinado a un lado de un contenedor que luego se le permite dispersarse y llenar todo el espacio. Este es un proceso irreversible clásico donde el desorden aumenta. La fórmula de 1927 observa este proceso y reporta ningún cambio, porque el estado cuántico del gas permanece puro y la fórmula es ciega a la dispersión. En contraste, la fórmula de 1929 registra correctamente un aumento en la entropía, reflejando el comportamiento de un gas real. Tiene en cuenta el hecho de que, si bien podríamos conocer el estado cuántico exacto del sistema, nosotros, como observadores macroscópicos, solo podemos medir un conjunto limitado de propiedades, tales como la posición y el momento. La fórmula de 1929 está construida sobre esta limitación, midiendo el desorden que realmente experimentamos.

Uno de los argumentos más convincentes del artículo es que la entropía de 1929 se comporta como debería comportarse una verdadera cantidad termodinámica: es extensiva. Esto significa que si combinas dos sistemas separados, la entropía total es simplemente la suma de sus entropías individuales. La fórmula de 1927 no siempre hace esto, lo cual es una razón importante por la que no puede representar el calor y el desorden de una gran colección de átomos. El autor también aborda por qué la fórmula de 1929 fue olvidada en primer lugar. Requería una forma específica de dividir el mundo cuántico en trozos pequeños y manejables, un método que parecía difícil de calcular e implementar. Sin embargo, las técnicas computacionales modernas han resuelto estos obstáculos técnicos, haciendo posible calcular esta entropía de manera eficiente.

El artículo sugiere que la razón por la que la fórmula de 1927 funcionó tan bien en el pasado es una coincidencia matemática. En muchos experimentos comunes, un sistema pequeño interactúa con un entorno mucho más grande, como un baño térmico. En estas situaciones específicas, las dos fórmulas resultan ser numéricamente iguales. Esto llevó a los científicos a creer que eran intercambiables. El nuevo análisis muestra que este acuerdo es un accidente de las condiciones específicas, no una señal de que las fórmulas sean las mismas. Cuando las condiciones cambian, como ocurre en el ejemplo del gas que se expande, las fórmulas divergen, y solo la versión de 1929 dice la verdad sobre el mundo físico.

En última instancia, este trabajo es un llamado a reorganizar cómo pensamos sobre el desorden cuántico. Propone una clara división del trabajo: use la fórmula de 1927 cuando quiera entender las conexiones misteriosas entre las partículas cuánticas, y use la fórmula de 1929 cuando quiera entender el calor, la temperatura y el flujo irreversible del tiempo. Al revivir la olvidada entropía de 1929, el artículo restaura el vínculo correcto entre el mundo cuántico microscópico y el mundo termodinámico macroscópico en el que vivimos, asegurando que nuestras herramientas matemáticas coincidan con la realidad física que pretenden describir.