Von Neumann's Two Quantum Entropies

Entropie is de maatstaf voor wanorde in een systeem, de reden waarom een kop koffie afkoelt en waarom een gebroken glas nooit spontaan weer in elkaar springt. Al meer dan een eeuw zoeken natuurkundigen naar een manier om te begrijpen hoe dit vertrouwde, chaotische gedrag voortkomt uit de zuivere, precieze wetten die individuele atomen beheersen. Toen de regels van de kwantumwereld aan het begin van de twintigste eeuw werden ontdekt, ontstond er een nieuwe vraag: hoe definiëren we deze wanorde voor een enkel kwantumdeeltje? Het antwoord leek aanvankelijk eenvoudig, maar een diepere blik onthult dat de definitie die de meeste wetenschappers al bijna honderd jaar gebruiken, mogelijk een heel ander ding meet.

In 1927 stelde de legendarische natuurkundige John von Neumann een manier voor om de entropie van een kwantumsysteem te berekenen. Zijn formule, nu bekend als de von Neumann-entropie, werd een hoeksteen van de kwantumfysica. Het werkt uitstekend om te beschrijven hoe verschillende delen van een kwantumsysteem met elkaar verbonden raken, een fenomeen dat verstrengeling wordt genoemd. De formule heeft echter een vreemde tekortkoming wanneer deze wordt toegepast op de warmte en wanorde van een echt object. Als een kwantumsysteem in een "zuivere" toestand verkeert — een conditie waarin het perfect gedefinieerd is en niet vermengd met iets anders — zegt deze beroemde formule dat de entropie exact nul is. Dit creëert een paradox. In de echte wereld zal zelfs een perfect voorbereid gas van atomen uiteindelijk uitspreiden en mengen, een proces dat duidelijk de wanorde vergroot. Toch blijft de entropie van een zuiver kwantumsysteem volgens de formule uit 1927 onveranderd; het blijft voor altijd op nul staan, ongeacht hoe veel het zich verspreidt of mengt.

Decennia later, in 1929, realiseerde von Neumann zich dit probleem en stelde hij een andere formule voor om het te herstellen. Hij introduceerde een tweede type entropie, die we de Wigner–von Neumann-entropie kunnen noemen. In tegenstelling tot de eerste formule, blijft deze niet op nul bij zuivere toestanden. In plaats daarvan neemt deze toe naarmate het systeem evolueert, waardoor het werkelijke, onomkeerbare verspreiden van deeltjes vastlegt dat we in de natuur zien. Ondanks dat deze tweede formule een beter instrument is voor het beschrijven van thermodynamische warmte en wanorde, werd hij grotendeels vergeten. Voor bijna een eeuw bleef de wetenschappelijke gemeenschap de 1927-versie voor bijna alles gebruiken, waarbij zij deze behandelde als de universele maatstaf voor kwantumwanorde, terwijl de 1929-versie ongemoeid en ongewaardeerd in de archieven bleef liggen.

Een recente paper door de natuurkundige Biao Wu probeert dit historische overzicht te corrigeren. De auteur betoogt dat we het verkeerde gereedschap voor de klus hebben gebruikt. De studie beoordeelt de geschiedenis en de wiskundige eigenschappen van beide formules om aan te tonen dat ze voor twee totaal verschillende doeleinden zijn ontworpen. De 1927-entropie, concludeert de auteur, is helemaal geen maatstaf voor thermodynamische warmte. In plaats daarvan is het een nauwkeurige maatstaf voor verstrengeling, de onzichtbare verbinding tussen kwantumdeeltjes. Het vertelt ons hoeveel informatie er gedeeld wordt tussen twee delen van een systeem, maar het zegt niets over de warmte of de wanorde van het systeem als geheel.

De paper demonstreert dat de 1929-entropie de ware thermodynamische entropie voor kwantumsystemen is. Om dit te bewijzen, onderzoekt de auteur een eenvoudig scenario: een gas van deeltjes die beperkt is tot één zijde van een container, die vervolgens wordt toegelaten om zich uit te spreiden en de gehele ruimte te vullen. Dit is een klassiek onomkeerbaar proces waarbij de wanorde toeneemt. De 1927-formule ziet dit proces en rapporteert geen verandering, omdat de kwantumtoestand van het gas zuiver blijft en de formule blind is voor de verspreiding. In contrast hiermee registreert de 1929-formule correct een toename in entropie, wat het gedrag van een echt gas weerspiegelt. Het houdt rekening met het feit dat hoewel we de exacte kwantumtoestand van het systeem kennen, wij als macroscopische waarnemers slechts een beperkt aantal eigenschappen kunnen meten, zoals positie en impuls. De 1929-formule is gebouwd op deze beperking en meet de wanorde die wij daadwerkelijk ervaren.

Een van de meest overtuigende argumenten in de paper is dat de 1929-entropie zich gedraagt zoals een ware thermodynamische grootheid zou moeten doen: zij is extensief. Dit betekent dat als je twee gescheiden systemen combineert, de totale entropie simpelweg de som is van hun individuele entropieën. De 1927-formule doet dit niet altijd, wat een belangrijke reden is waarom zij de warmte en wanorde van een grote verzameling atomen niet kan vertegenwoordigen. De auteur behandelt ook waarom de 1929-formule in de eerste plaats vergeten is geraakt. Het vereiste een specifieke manier om de kwantumwereld op te delen in kleine, beheersbare brokken, een methode die moeilijk te berekenen en te implementeren leek. Moderne computationele technieken hebben deze technische hindernissen echter opgelost, waardoor het mogelijk is om deze entropie efficiënt te berekenen.

De paper suggereert dat de reden waarom de 1927-formule in het verleden zo goed werkte, een wiskundige toevalligheid was. In veel veelvoorkomende experimenten interageert een klein systeem met een veel grotere omgeving, zoals een warmtebad. In deze specifieke situaties geven de twee formules toevallig hetzelfde numerieke resultaat. Dit leidde ertoe dat wetenschappers dachten dat ze uitwisselbaar waren. De nieuwe analyse laat zien dat deze overeenkomst een ongelukje is van de specifieke omstandigheden, en geen teken dat de formules hetzelfde zijn. Wanneer de omstandigheden veranderen, zoals in het voorbeeld van het uitspreidende gas, divergeren de formules, en alleen de 1929-versie vertelt de waarheid over de fysieke wereld.

Uiteindelijk is dit werk een oproep om te reorganiseren hoe we over kwantumwanorde denken. Het stelt een duidelijke taakverdeling voor: gebruik de 1927-formule wanneer je de mysterieuze verbindingen tussen kwantumdeeltjes wilt begrijpen, en gebruik de 1929-formule wanneer je warmte, temperatuur en de onomkeerbare stroom van de tijd wilt begrijpen. Door de vergeten 1929-entropie te doen herleven, herstelt de paper de juiste schakel tussen de microscopische kwantumwereld en de macroscopische thermodynamische wereld waarin wij leven, en zorgt het ervoor dat onze wiskundige instrumenten overeenkomen met de fysieke realiteit die ze bedoeld zijn te beschrijven.