Tracing Creativity in Mathematical Modelling: An Event-Level Learning Analytics Study of Modelling Processes

수학 교육의 세계에는 학생의 능력을 측정하는 진정한 척도가 그들이 적어 내려가는 최종 답안에 있다는 오래된 믿음이 존재합니다. 학생이 문제를 해결할 때, 교사들은 종종 그들의 기술을 판단하기 위해 결과만을 살핍니다. 그러나 점점 더 많은 교육자와 연구자들이 다른 질문을 던지기 시작했습니다. 바로 '학생이 문제를 풀고 있는 동안 그들의 마음속에서는 어떤 일이 일어나는가?' 하는 것입니다. 이 탐구는 목적지가 아닌 여정에 초점을 맞춥니다. 이는 창의성이란 단순히 마지막에 나타나는 불꽃이 아니라, 시행착오와 갑작스러운 통찰, 그리고 재고(rethinking)의 순간들로 가득 찬, 시간에 따라 펼쳐지는 과정임을 시사합니다. 이러한 과정을 이해하는 것은 특히 수학적 모델링에서 매우 중요합니다. 수학적 모델링은 학생들이 복잡하고 난해한 현실 세계의 상황을 가져와 이를 수학적인 이야기로 만들어내야 하는 문제 해결 유형입니다. 명확한 지침이 있는 일반적인 교과서 연습 문제와 달리, 이러한 과업은 학생들로 하여して 무엇이 중요한 정보인지, 그것을 어떻게 표현할 것인지, 그리고 자신의 해결책이 타당한지 어떻게 확인할 것인지를 결정하게 합니다. 연구자들의 과제는 이 보이지 않는 사고 과정을 명확하게 보는 것, 즉 최종 결과물을 넘어 창의적인 행위가 일어나는 현장을 관찰하는 것이었습니다.

홍콩 폴리텍 대학교(The Hong Kong Polytechnic University)의 연구팀은 이 과정을 실제로 관찰할 수 있는 새로운 방법을 개발했습니다. 그들은 학생들이 수학적 모델링 과업을 수행할 때 창의성이 어떻게 발현되는지를 이해하고자 했으며, 완성된 결과물이 아니라 학생들이 작업하면서 남긴 디지털 발자국을 분석했습니다. 이 연구에는 이러한 유형의 모델링을 한 번도 해본 적이 없는 88명의 8학년 학생들이 참여했습니다. 학생들은 디지털 태블릿이 구비된 교실에 앉아 한 시간 동안 복잡하고 개방적인 문제를 풀었습니다. 학생들이 작업하는 동안, 컴퓨터 시스템은 문제를 읽기 시작한 순간부터 마칠 때까지 그들이 취한 모든 단일 행동을 기록했습니다. 시스템은 15초마다 작업의 스냅샷을 저장하여 그들의 손글씨, 그림, 그리고 클릭을 포착했습니다. 이는 학생들이 행한 모든 멈춤, 수정, 그리고 되돌아가기 동작의 디지털 흔적이 담긴 방대한 원시 데이터의 흐름을 만들어냈습니다.

연구자들은 중대한 난관에 봉착했습니다. 클릭과 멈춤의 목록만으로는 창의성에 대한 이야기를 자동으로 들려주지 않기 때문입니다. 학생이 깊이 생각하느라 멈출 수도 있고, 혼란스러워서 멈출 수도 있으며, 단순히 주의가 산만해져서 멈출 수도 있습니다. 이를 이해하기 위해 연구팀은 이러한 원시 디지털 흔적을 의미 있는 사건(event)으로 변환하는 정교한 워크플로우를 구축했습니다. 그들은 학생들의 한 시간짜리 작업 세션을 별개의 순간, 즉 '사건'으로 나누고 각 사건을 모델링 과정의 다섯 단계 중 하나로 분류했습니다. 이 단계들은 문제를 이해하고 상황을 단순화하는 것부터, 수학적 표현을 생성하고, 결과를 해석하며, 마지막으로 자신의 발견을 바탕으로 새로운 질문을 제기하는 단계까지 아우릅니다. 그런 다음 그들은 각 사건이 '창의적 움직임(creative move)'을 포함하고 있는지 확인했습니다. 창의적 움직임은 단순히 새로운 것을 하는 것뿐만 아니라, 수학적으로 타당하면서도 실제 상황과 관련이 있는 새로운 것을 하는 것으로 정의되었습니다. 연구진은 이 움직임들이 얼마나 독창적인지, 그리고 맥락에 얼마나 잘 부합하는지를 기준으로 점수를 매겨 창의성이 언제, 어디서 발생하는지에 대한 명확한 그림을 그려냈습니다.

데이터가 정리되자, 연구자들은 이러한 과정 중심적 창의성을 높게 보인 학생들과 낮게 보인 학생들을 비교했습니다. 그들은 학생들이 한 단계에서 다른 단계로 어떻게 이동하는지의 패턴을 살펴보았습니다. 그들은 두 집단 모두 매우 유사한 경로를 따른다는 것을 발견했습니다. 창의적인 학생이든 그렇지 않은 학생이든, 문제를 이해하고, 수학적 모델을 구축한 다음, 자신의 작업을 확인하는 과정을 거쳤습니다. 높은 창의성을 보인 집단은 모델을 구축하는 것과 아이디어를 설명하는 것 사이를 더 자주 오가는 몇몇 추가적인 경로를 보여주기는 했지만, 그들이 작업하는 근본적인 구조는 모두에게 동일했습니다. 이는 표준적인 문제 해결 방식과 완전히 다른, 단 하나의 고유한 '창의적 경로'라는 것은 존재하지 않음을 시사합니다. 대신, 창의성은 누구나 사용하는 일반적인 과정 속에 엮여 있으며, 단지 단계들 사이의 몇 가지 추가적인 연결 고리를 가질 뿐이라는 것입니다.

그러나 가장 놀라운 발견은 창의적인 순간이 '언제' 일어났는가에 관한 것이었습니다. 연구자들은 창의성이 균등하게 분포되어 있지 않다는 것을 발견했습니다. 창의성은 끊임없이 흐르는 아이디어의 줄기가 아니었습니다. 대신, 창의적 움직임은 프로세스의 특정 부분에 집중되어 있었습니다. 학생들은 문제를 이해하고 단순화하려고 처음 시도할 때, 혹은 작업의 맨 마지막 단계에서 자신의 작업에 기반해 새로운 질문을 던지려고 생각할 때 창의적인 돌파구를 맞이할 가능성이 가장 높았습니다. 반면, 학생들이 실제 수학 방정식과 계산을 써 내려가던 중간 단계는 창의적 움직임이 일어날 가능성이 가장 낮은 시기였습니다. 이는 모델링에서의 창의성이 학생이 그 순간 수행하고 있는 특정한 과업과 깊게 연관되어 있음을 말해줍니다. 작업의 성격이 창의적인 불꽃이 튈 가능성을 변화시키는 것입니다.

또한 연구는 디지털 학습에 대한 흔한 가정, 즉 멈춤, 이전 답안 수정, 또는 이전 단계로 되돌아가기 같은 관찰 가능한 특정 행동들이 창의적 사고의 직접적인 징후라는 가정을 테스트했습니다. 많은 교육자는 학생이 생각하기 위해 멈추거나 생각을 바꾼다면, 그들이 창의적이라고 가정합니다. 그러나 이 연구의 데이터는 그 생각을 뒷받침하지 않았습니다. 연구자들이 학생이 과업의 어느 단계에 있는지를 고려했을 때, 이러한 고립된 행동들은 다음에 창의적 움직임이 일어날지를 예측하지 못했습니다. 멈춤은 학생이 막혔음을 의미할 수도 있고, 멋진 아이디어가 떠올랐음을 의미할 수도 있지만, 그 행동 자체는 차이를 알려주지 않았습니다. 작업의 맥락이 특정 행동보다 훨씬 더 중요했습니다. '이해' 단계에서의 멈춤은 창의적 과정의 일부일 수 있지만, '계산' 단계에서의 동일한 멈춤은 단지 혼란의 순간일 수 있습니다.

이러한 결과는 우리가 학습을 이해하고 지원하는 방식에 새로운 관점을 제공합니다. 이는 창의성을 진정으로 보기 위해서는 단순히 학생이 작업 내용을 얼마나 많이 수정하는지 또는 얼마나 자주 멈추는지를 세는 것만으로는 부족하다는 것을 시사합니다. 우리는 그 순간 그들이 무엇을 하고 있는지에 대한 실체(substance)를 보아야 합니다. 수학적 모델링에서의 창의성은 진공 상태에서 발생하는 별개의 기술이 아닙니다. 그것은 당면한 과업의 구체적인 요구에 대한 반응입니다. 원시 디지털 데이터를 모델링 과정에 대한 이야기로 변환하는 연구자들의 방법은 교육자들에게 강력한 도구를 제공합니다. 이를 통해 교육자들은 학생들이 단순히 숫자를 계산하고 있을 때가 아니라, 문제를 정의하거나 해결책을 성찰할 때 창의성이 꽃피울 가능성이 높다는 것을 알 수 있습니다. 표면적인 행동이 아닌 작업의 맥락에 집중함으로써, 우리는 어린 마음들이 복잡한 문제에 어떻게 참여하는지, 그리고 혁신의 씨앗이 어디에 뿌리 내릴 가능성이 높은지를 더 잘 이해할 수 있습니다.